(1)根据y=Asin(ωx+∅)的最小正周期的求法求得此函数的最小正周期.由函数的最大值求A,根据函数在x=时取得最大值4,求得φ,从而得到函数的解析式.
(2)令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,即可到函数f(x)的单调增区间.
(3)根据x∈,结合正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)在上的值域.
【解析】
(1)∵函数f(x)=Asin(3x+φ),故函数的最小正周期为T=.
由函数的最大值为4可得A=4,
由函数在x=时取得最大值4可得 4sin(3×+φ)=4,故 +φ=2kπ+,k∈z.
结合0<φ<π,可得 φ=.
综上,函数f(x)=4sin(3x+).
(2)令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈z,求得≤-≤x≤+,
故函数f(x)的单调增区间为[-,+],k∈z.
(3)∵x∈,∴3x+∈[,],∴sin(3x+)∈[-,1],
故4sin(3x+)∈[-2,4].
故函数f(x)在上的值域为[-2,4].