Question

已知抛物线方程为y²=4x，直线l的方程为x-y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d₁，P到直线l的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值为    ．

Answer

连接PF，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=-1于点C．由抛物线的定义，得到d1+d2=（PA+PF）-1，再由平面几何知识可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，因此算出F到直线l的距离，即可得到d1+d2的最小值．
【解析】
如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=-1于点C
连接PF，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF
∵P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，
∴d1+d2=PA+PB=（PA+PC）-1=（PA+PF）-1
根据平面几何知识，可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值
∵F（1，0）到直线l：x-y+4=0的距离为=
∴PA+PF的最小值是，
由此可得d1+d2的最小值为-1
故答案为：-1