Question

已知数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}成等差数列的充要条件．

Answer

由Sn求an的过程可得必要条件是：a≠0，c=0．只需再证明充分性即可，注意n的范围的限制．
【解析】
当n=1时，a1=a+b+c；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+b-a
由于a≠0，∴当n≥2时，{an}是公差为2a等差数列．
要使{an}是等差数列，则a2-a1=2a，解得c=0．
即{an}是等差数列的必要条件是：a≠0，c=0．
充分性：
当a≠0，c=0时，．
当n=1时，a1=a+b；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+b-a，
显然当n=1时也满足上式，
∴
∴{an}是等差数列．
综上可知，数列{an}是等差数列的充要条件是：a≠0，c=0．