Question

如图，在四棱锥ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1．
（Ⅰ）求PD与BC所成角的大小；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大小．

Answer

（1）取的AB中点H，易证∠PDH为PD与BC所成角，解三角形可得；
（2）由已知结合线面垂直的判定可得：
（3）坐标法求得平面的法向量，由向量的夹角可得二面角的大小．
（Ⅰ）取的AB中点H，连接DH，易证BH∥CD，且BD=CD …（1分）
所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC∥DH
所以∠PDH为PD与BC所成角…（2分）
因为四边形，ABCD为直角梯形，且∠ABC=45°，所以⊥DA⊥AB
又因为AB=2DC=2，所以AD=1，因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形，
所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60°…（4分）
（Ⅰ）连接CH，则四边形ADCH为矩形，∴AH=DC   又AB=2，∴BH=1
在Rt△BHC中，∠ABC=45°，∴CH=BH=1，CB=∴AD=CH=1，AC=
∴AC2+BC2=AB2∴BC⊥AC…（6分） 又PA平面ABCD∴PA⊥BC …（7分）
∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC  …（8分）
（Ⅲ）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系，则由题设可知：
A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0），
∴=（0，0，1），=（1，1，-1）…（9分）
设m=（a，b，c）为平面PAC的一个法向量，则，即
设a=1，则b=-1，∴m=（1，-1，0）…（10分）
同理设n=（x，y，z） 为平面PCD的一个法向量，求得n=（1，1，1）…（11分）
∴
所以二面角A-PC-D为60°…（12分）