Question

已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．
①求a，b的值；
②设F（x）=-f（x）+2kx+13k-2，则当k取何值时，函数F（x）的值恒为负数？

Answer

①由题意可得，-2和6是方程ax2+a2x+2b-a3 =0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系求得a、b的值．
②要使F（x）的值恒为负数，即kx2-2kx-（k+2）＜0恒成立，分k=0和k≠0两种情况，分别求得 k的取值范围，再取并集，即得所求．
【解析】
①∵函数f（x）=ax2+a2x+2b-a3，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0，
故-2和6是方程ax2+a2x+2b-a3 =0的两个根，∴，解得 ，
∴f（x）=-4x2+16x+48．
②∵F（x）=-f（x）+2kx+13k-2=kx2-2kx-（k+2），要使F（x）的值恒为负数，即kx2-2kx-（k+2）＜0恒成立，
当k=0时，不等式化为-2＜0，符合题意．
当k≠0时，由  解得-1＜k＜0．
综上可得，-1＜k≤0，即 k的取值范围为（-1，0]．