Question

已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^x（a≤2，x∈R）
（1）若a=1，求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使得f（x）的极大值为3．若存在，求出a值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）把a=2代入，对函数求导，求得切线斜率及切点的坐标，从而可求切线方程；
（2）先求导函数，研究函数的单调区间，由单调区间求出函数的极大值，结合条件进行判断即可．
【解析】
由题意知：f′（x）=（2x+a）ex+（x2+ax+a）ex=[x2+（a+2）x+2a]ex…（2分）
（1）当a=1时，f′（x）=[x2+3x+2]ex，则：f′（0）=2，f（0）=1…（4分）
所以函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y=2x+1…（6分）
（2）令：f′（x）=[x2+（a+2）x+2a]ex=0，则：x2+（a+2）x+2a=0，所以：x=-2或x=-a…（7分）
1）当a=2时，f′（x）=（x+2）2ex＞0，则函数在x∈R上单调递增，故无极值．…（8分）
2）当a＜2时

x （-∞，-2） -2 （-2，-a） -a （-a，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 极大 极小

所以：f（-2）=3，则a=4-3e2…（12分）