(1)根据双曲线的性质,当直线经过双曲线的中心被双曲线截得的实轴长是线段是PQ的最小值.因此,求出双曲线的实轴所在直线为y=x,再求y=x与双曲线的交点坐标,即可得到线段PQ的最小值.
(2)类似(1)的原理,利用导数工具求出双曲线的实轴所在直线为y=(-2)x,再联解直线与双曲线方程,得到交点坐标后再用两点间的距离公式,可算出线段PQ的最小值.
【解析】
(1)∵的图象为双曲线,两条渐近线分别为x轴和y轴
∴双曲线的实轴在直线y=x上,直线y=x被双曲线截得的线段长等于PQ的最小值
联解,得交点为(1,1)和(-1,-1)
∴线段PQ的最小值为=2
(2)函数的导数为y′=+>,
所以函数的渐近线方程为:x=0与y=x,
可得两条渐近线的角平分线与x轴所成的倾斜角为-15°,
其方程为:y=tan(-15°)x,即y=(-2)x,
因此,两条渐近线的角平分线与函数的交点为:
(,-),(-,),
因此,线段PQ的最小值为
=2-2.
故答案为:2,2-2