Question

已知数列{a_n}的前n项和，求证数列{a_n}成等差数列的充要条件是c=0．

Answer

由等差数列的求和公式和通项公式，分别证明必要性和充分性即可．
证：必要性：当n=1时，a1=a+b+c；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+b-a；
由于a≠0，∴当n≥2时，{an}是公差为2a等差数列．
要使{an}是等差数列，则a2-a1=2a，解得c=0．
即{an}是等差数列的必要条件是：c=0．
充分性：当c=0时，，a≠0．
当n=1时，a1=a+b；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+b-a，
显然当n=1时也满足上式，
∴，进而可得
∴{an}是等差数列．
综上可知，数列{an}是等差数列的充要条件是：c=0．