Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c且f（-1）=0，f（1）=1．是否存在常数a，b，c使得不等式对一切实数x都成立？若存在，求出实数a，b，c的值；若不存在，请说明理由．

Answer

根据f（-1）=（1）=1，解出b=，c=-a，得到函数表达式化简为f（x）=ax2+x+-a．然后设存在常数a，b，c使得不等式对一切实数x都成立，运用根的判别式建立关于实数a的不等式组，解之可得a=，由此即可得到存在常数a=，b=，c=，使得不等式对一切实数x都成立．
【解析】
∵f（-1）=0且f（1）=1
∴a-b+c=0且a+b+c=1．联解可得b=，c=-a．
函数表达式化简为：f（x）=ax2+x+-a．
设存在常数a，b，c使得不等式对一切实数x都成立
可得x≤ax2+x+-a≤对一切x∈R成立，
化简得恒成立，即
解之得a=，可得c=-a=．

∴存在常数a=，b=，c=，使得不等式对一切实数x都成立．