Question

设圆C上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A仍在圆上，且直线x-y+1=0被圆C截得的弦长为2．
（1）求点A′的坐标；     
（2）求圆C的标准方程．

Answer

（1）设出点A′的坐标，利用对称知识列出方程组，求出点A′的坐标即可；     
（2）设出圆的圆心坐标，通过A在圆上，与直线x-y+1=0被圆C截得的弦长为2，列出方程，求出圆的圆心坐标，然后求圆C的标准方程．
【解析】
（1）设点A′的坐标（a，b），点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称为A′，所以，
解得，点A′的坐标（）；     
（2）因为圆的圆心在x+2y=0，所以设圆的圆心坐标为（-2a，a），所以圆的半径为：，
因为直线x-y+1=0被圆C截得的弦长为2，所以，
解得a=-3或a=-7，所以圆的圆心坐标为（6，-3）时，圆的半径为：3；圆的方程为：（x-6）2+（y+3）2=45
圆心坐标为（14，-7）时，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x-14）2+（y+7）2=244，