Question

已知函数f（x）=a•2^x-b•3^x，其中常数a，b满足ab≠0．
（1）若ab＜0，判断函数f（x）的单调性；
（2）若lna+lnb=2ln（2a-3b），求f（x+1）-f（x）＞0时x的取值范围．

Answer

（1）由ab＜0，说明a，b异号，根据指数函数在底数大于1时为增函数可得y=a•2x和y=-b•3x的单调性，然后由在相同区间内增函数的和为增函数，减函数的和为减函数可得函数f（x）的单调性；
（2）由lna+lnb=2ln（2a-3b）得到a和b的关系式，把f（x）和f（x+1）代入不等式f（x+1）-f（x）＞0，整理后由a和b的关系式消掉a，b，然后求解指数不等式即可得到f（x+1）-f（x）＞0时x的取值范围．
【解析】
（1）由ab＜0，得a＞0，b＜0或a＜0，b＞0．
∵函数y=2x和y=3x是实数集上的增函数，
∴当a＞0，b＜0时，函数y=a•2x为增函数，y=-b•3x也为增函数，
则函数f（x）=a•2x-b•3x是实数集上的增函数；
当a＜0，b＞0时，函数y=a•2x为减函数，y=-b•3x也为减函数，
则函数f（x）=a•2x-b•3x是实数集上的减函数；
（2）由lna+lnb=2ln（2a-3b），得：a＞0，b＞0，2a＞3b．
且lnab=ln（2a-3b）2，∴ab=（2a-3b）2，即4a2-13ab+9b2=0．
∴（a-b）（4a-9b）=0，解得：a=b，或4a=9b．
∵a＞0，b＞0，2a＞3b，∴a=b不符合，则4a=9b，∴．
由f（x+1）-f（x）＞0，得：a•2x+1-b•3x+1-a•2x+b•3x=a•2x-2b•3x＞0．
把代入上式得：，
又b＞0，∴，即，解得：．
所以，f（x+1）-f（x）＞0时x的取值范围是．