Question

已知线段AB过y轴上一点P（0，m）（m＞0），斜率为k，两端点A，B到y轴距离之差为4k（k＞0），
（1）求以O为顶点，y轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；
（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点．

Answer

（1）设AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2-2pkx-2pm=0，利用韦达定理能求出p，从而求出抛物线方程．
（2）设M（x1，），N（x2，），Q（x，-1），由kMQ=，知x12-2x1x+4y=0．由此能推导出直线MN过点（0，1）．
【解析】
（1）设AB的方程为y=kx+m，过A，B两点的抛物线方程x2=2py，A（x1，y1），B（x2，y2）
则由，可得x2-2pkx-2pm=0．（2分）
∴x1+x2=2pk，
又依题意有|x1+x2|=4k=2pk，
∴p=2．
∴抛物线方程为x2=4y．（6分）
（2）设M（x1，），N（x2，），Q（x，-1），
∵kMQ=，
∴MQ的方程为y-=（x-x1），
∴x12-2x1x+4y=0．（8分）
∵MQ过Q，∴x12-2x1x-4=0，
同理x22-2x2x-4=0，
∴x1，x2为方程x2-2xx-4=0的两个根，
∴x1x2=-4．（10分）
又kMN=，
∴MN的方程为y-=（x-x1）
∴y=x+1，
所以直线MN过点（0，1）．（12分）