Question

已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），它的前n项和为S_n，且a₃=5，S₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=6ⁿ+（-1）^n-1λ•2a_n（λ为正整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer

（1）利用等差数列的定义和通项公式、前n项和公式即可得出；
（2）利用（1）的结论，通过作差bn+1-bn并对n分奇偶讨论即可得出．
【解析】
（1）∵对于∀n∈N*，都有2an+1=an+an+2，∴数列{an}是等差数列，设公差为d，
∵a3=5，S6=36，∴，解得．
∴an=1+（n-1）×2=2n-1．（n∈N*）．
（2）由（1）可得：，（λ为正整数，n∈N*），
∴bn+1-bn=6n+1+（-1）nλ•2（2n+1）-[6n+（-1）n-1λ•2（2n-1）]
=5×6n+（-1）nλ×4，
当n为偶数时，∵λ为正整数，∴bn+1-bn＞0成立；
当n奇数时，要使5×6n-4λ＞0恒成立，则，
∵关于n单调递增，∴当n=1时，取得最小值，又λ为正整数，取λ=7，6，5，4，3，2，1．
∴当λ=7，6，5，4，3，2，1时，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．