Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，数列{b_n}有b₁=2，b_n=2b_n-1（n≥2）
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项；
（2）若c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的通项公式及前n项和Tn．

Answer

（1）按照an与Sn的关系式：即可求得an，注意验证n=1的情况；先判断{bn}为等比数列，根据等比数列的通项公式即可求得bn；
（2）由（1）易求cn，利用错位相减法即可求得{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n，
当n=1时，a1=S1=2，适合上式，
所以an=2n，（n∈N*），
由bn=2bn-1（n≥2）及b1=2知，数列{bn}各项均不为0，且数列{bn}为以2为公比的等比数列，
则bn=2•2n-1=2n，
所以an=2n，bn=2n；
（2）由（1）知cn=anbn=2n•2n=n•2n+1，
所以cn=n•2n+1，
则Tn=c1+c2+c3+…cn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1①，
2Tn=1•23+2•24+3•25+…+n•2n+2②，
①-②得，-Tn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=-n•2n+2，
所以Tn=（n-1）•2n+2+4．