Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，，求使在[0，2010]上的所有x的个数．

Answer

（1）由f（x+2）=-f（x）可推知f（x+4）=f（x）得证．
（2）依题意求出f（x）在[-1，3）上的解析式，进而求出时x的值．再根据函数的周期性求出在[0，2010]上的所有x的个数．
【解析】
（1）证明：∵f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）
∴f（x）是以4为周期的函数．
（2）当0≤x≤1时，f（x）=x，
设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，
∴f（-x）=（-x）=-x．
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=-x，即f（x）=x．故f（x）=x（-1≤x≤1）
又设1＜x＜3，则-1＜x-2＜1，∴f（x-2）=-（x-2），
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f[（-x）+2]=-[-f（-x）]=-f（x），
∴-f（x）=（x-2），∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）．
∴f（x）=
由f（x）=-，解得x=-1．
∵f（x）是以4为周期的周期函数．故f（x）=-的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2010，则≤n≤502，
又∵n∈Z，∴1≤n≤502（n∈Z），
∴在[0，2010]上共有502个x使f（x）=-．