Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（I）证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

Answer

（I）证明PA⊥AB，PA⊥AD，AB、AD是平面ABCD内的两条相交直线，即可证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，作EG∥PA交AD于G，作GH⊥AC于H，连接EH，说明∠EHG即为二面角θ的平面角，解三角形求EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）证法一F是棱PC的中点，连接BM、BD，设BD∩AC=O，利用平面BFM∥平面AEC，证明使BF∥平面AEC．
证法二建立空间直角坐标系，求出、、共面，BF⊄平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．
还可以通过向量表示，和转化得到、、是共面向量，BF⊄平面ABC，从而BF∥平面AEC．
【解析】
（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，
由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）【解析】
作EG∥PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连接EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．
又PE：ED=2：1，所以．
从而，θ=30°．
（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，
过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图．
由题设条件，相关各点的坐标分别为.．
所以．．．
设点F是棱PC上的点，，其中0＜λ＜1，
则=．
令得即
解得．即时，．
亦即，F是PC的中点时，、、共面．
又BF⊄平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．
解法二：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下，
证法一：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．①
由，知E是MD的中点．
连接BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点．
所以BM∥OE．②
由①、②知，平面BFM∥平面AEC．
又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC．
证法二：
因为==．
所以、、共面．
又BF⊄平面ABC，从而BF∥平面AEC．