Question

已知直线x-2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AB，BS与直线分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值．

Answer

（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线AS的方程为y=k（x+2），从而．由题设条件可以求出，所以，
再由均值不等式进行求解．
【解析】
（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1），
∴a=2，b=1，
故椭圆C的方程为．
（2）直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而．
由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0．
设S（x1，y1），则得，从而．
即，又B（2，0）
由得，∴，
故，
又k＞0，∴=．当且仅当，即k=时等号成立
∴k=时，线段MN的长度取最小值．