Question

已知直线L：x+y-9=0和圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为    ．

Answer

将圆的方程化为（x-2）2+（y-2）2=（ ）2，设A（a，9-a）①当a≠2时，把∠BAC看作AB到AC的角，又点C在圆M，由圆心到AC的距离小于等于圆的半径，求出a的范围．②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线有y-7=x-2，M到它的距离，判断这样点C不在圆M上不成立．
【解析】
圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0方程可化为（x-2）2+（y-2）2=（）2，
设A点的横坐标为a．
则纵坐标为9-a；
①当a≠2时，kAB=，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，
则可得k=，
直线AC的方程为y-（9-a）=（x-a）
即5x-（2a-9）y-2a2+22a-81=0，
又点C在圆M上，
所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，
即≤，
化简得a2-9a+18≤0，
解得3≤a≤6；
②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y-7=x-2
即x-y+5=0，M到它的距离d==＞，
这样点C不在圆M上，
还有x+y-9=0，显然也不满足条件，
综上：A点的横坐标范围为[3，6]．
故答案为：[3，6]．