Question

下列命题：
①（1-e^x）dx=1-e；
②命题“∀x＞3，x²+2x+1＞0”的否定是“∃x≤3，x²+2x+1≤0”；
③已知x∈R，则“x＞2”是“x＞1”的充分不必要条件；
④已知，=（-2，-1），则在上的投影为-2；
⑤已知函数的导函数的最大值为3，则函数f（x）的图象关于对称，
其中正确的命题是    ．

Answer

对于命题①，直接求积分即可判断真假；命题②是全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题，由此可判断命题②的真假；命题③由x＞2能推出x＞1，但由x＞1不能推出x＞2；命题④考查了向量在向量上的投影，首先求出给出的两个向量的数量积，再求出向量的模，则在上的投影可求；命题⑤首先对复合函数求导，根据导函数的最大值是3求出ω的值，的导函数解析式后把代入函数解析式验证，函数能取最大值则是对称轴，否则不是．
【解析】
（1-ex）dx==1-（e1-e）=2-e，∴命题①错误；
命题“∀x＞3，x2+2x+1＞0”的否定是“∃x＞3，x2+2x+1≤0”，∴命题②错误；
由x＞2，一定有x＞1，反之，由x＞1，不一定有x＞2，如x=．
∴“x＞2”是“x＞1”的充分不必要条件，∴命题③正确；
由，=（-2，-1），设与的夹角为θ，
则=3×（-2）+4×（-1）=-10，
∵，∴．
∴在上的投影为．∴命题④错误；
由f（x）=sin（ωx+）-2，则f′（x）=ω•cos（ωx），
∵函数的导函数的最大值为3，∴ω=3．
则f（x）=sin（3x+）-2，而=＞-3，∴函数f（x）的图象不关于对称．
∴命题⑤错误．
所以正确的命题为③．
故答案为③．