Question

过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x²+y²≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）
A．x+y-2=0
B．y-1=0
C．x-y=0
D．x+3y-4=0

Answer

由扇形的面积公式可知，劣弧所的扇形的面积=2α，则S2=4π-2α（∠AOB=α）要求面积差的最大值，即求α的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OP⊥AB时，α最小，可求
【解析】
设过点P（1，1）的直线与圆分别交于点A，B，且圆被AB所分的两部分的面积分别为S1，S2且S1≤S2
劣弧所对的圆心角∠AOB=α，则=2α，S2=4π-2α（0＜α≤π）
∴S△AOB+S2-（S1-S△AOB）=4π-4α+
要求面积差的最大值，即求α的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OP⊥AB时，α最小
此时KAB=-1，直线AB的方程为y-1=-（x-1）即x+y-2=0
故选A
【解析】
要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．
又已知点P（1，1），则KOP=1，
故所求直线的斜率为-1．又所求直线过点P（1，1），
由点斜式得，所求直线的方程为y-1=-（x-1），即．x+y-2=0
故选A