Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP⊥A₁D不变；
③P在直线BC₁上运动时，直线AP⊥DB₁不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是过D₁点的直线
其中真命题的编号是    （写出所有真命题的编号）

Answer

①易知BC1∥平面AD1C，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，底不变，所以体积不变；
②由给出的图形是正方体，易证A1D⊥平面ABC1D1，而AP⊂面ABC1D1，∴P在直线BC1上运动时，直线AP⊥A1D不变；
③正方体中，体对角线DB1⊥面ACD1，则DB1不会垂直于面ABC1D1，P在直线BC1上运动时，AP与DB1不垂直；
④M在平面A1B1C1D1内，且到点D和C1距离相等，则点M的轨迹是DC1的垂直平分线与面A1B1C1D1的交点，所以为线段A1D1所在直线．
【解析】
①∵BC1∥平面AD1，∴BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，①正确；
②∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴A1D⊥AD1，又A1D⊥AB，AD1∩AB=A，∴A1D⊥平面ABC1D1，P在直线BC1上运动时，始终有AP⊂平面ABC1D1，∴P在直线BC1上运动时，直线AP⊥A1D不变，②正确；
③∵体对角线DB1⊥面ACD1，则DB1不会垂直于面ABC1D1，P在直线BC1上运动时，AP与DB1不垂直，③不正确；
④∵M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，∴M点的轨迹是DC1的垂直平分线绕DC1的中点旋转时与面A1B1C1D1的交点，得到的轨迹是线段A1D1所在直线，所以④正确．
故答案为：①②④