Question

如图，△ABC内接于圆柱的底面圆O，AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，DC、EB是两条母线，且 tan∠EAB=．
（1）求三棱锥C-ABE的体积；
（2）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面ADE，证明你的结论．

Answer

（1）利用圆柱母线的性质和“等积变形”即可得出；
（2）利用圆柱母线的性质、线面、面面垂直的判定和性质即可得出．
（3）利用三角形的中位线定理和线面、面面平行的判定和性质定理即可证明．
【解析】
（1）∵EB是圆柱的母线，∴EB⊥平面ABC．
又∵tan∠EAB===，∴EB=．
∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．
又AB=2，BC=1，∴AC=，
∴，
∴VC-ABE=VE-ABC===．
（2）∵DC、EB是两条母线，∴DC⊥平面ABC，DC∥EB，DC=EB．
∴四边形BCDE是矩形，∴ED∥BC．
∵DC⊥平面ABC，∴BC⊥DC．
又AC∩DC=C，∴BC⊥平面ACD，
∴ED⊥平面ACD，
∵ED⊂平面AED，∴平面ACD⊥平面ADE．
（3）在CD上存在一点M为线段CD的中点，使得MO∥平面ADE．
连接BD，取其中点F，连接OM、FM．
由三角形的中位线定理可得：OF∥AD，
而OF⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，
∴OF∥平面ADE．
同理可知：FM∥平面ADE．
又OF∩FM=F．
∴平面OFM∥平面ADE．
∴OM∥平面ADE．