Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，当x=-1时，取得极大值7，当x=3时，取得极小值，求这个极小值及f（x）的解析式．

Answer

利用函数f（x）在x=x取得极值的充要条件f′（x）=0且f′（x）在x=x的左右附近符号相反即可得出a，b的值，再利用极大值即可得到c，从而得出答案．
【解析】
f′（x）=3x2+2ax+b．
∵当x=-1时，取得极大值7，当x=3时，取得极小值，
∴，解得．
∴f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），经验证满足题意．
∴f（x）=x3-3x2-9x+2，
∴f（3）=33-3×32-9×3+2=-25．
即当x=3时，取得极小值f（3）=-25．