Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点
（1）证明：AD⊥D₁F；
（2）求AE与D₁F所成的角；
（3）证明：面AED⊥面A₁FD₁．

Answer

（1）欲证明：AD⊥D1F，可通过证明线面垂直得到，故先证AD⊥面DC1，即可；
（2）欲求AE与D1F所成的角，必须先找出求AE与D1F所成的角，利用正方体中平行线，即可知道是∠AHA1是AE与D1F所成的角即为所求，最后利用证三角形全等即得．
（3）欲证明：面AED⊥面A1FD1．根据面面垂直的判定定理知，只须证明线面垂直：D1F⊥面AED，即得．
【解析】
（1）∵AC1是正方体
∴AD⊥面DC1，
又D1F⊂面DC1，
∴AD⊥D1F
（2）取AB中点G，连接A1G，FG，
∵F是CD中点
∴
∴
则∠AHA1是AE与D1F所成的角
∵E是BB1的中点∴Rt△A1AG≌Rt△ABE
∴∠GA1A=∠GAH∴∠A1HA=90°即直线AE与D1F所成角是直角
（3）∵AD⊥D1F（（1）中已证）
AE⊥D1F，又AD∩AE=A，∴D1F⊥面AED，又∵D1F⊂面A1FD1，
∴面AED⊥面A1FD1