Question

A₁，A₂分别是椭圆的长轴的左、右端点，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端点，则直线A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程为    ．

Answer

假设直线A1P1与A2P2交点为M．设M（x，y），P1（x1，y1），P2（x1，-y1），根据M、P1、A1三点共线，得到=，同理由M、P2、A2三点共线，得到=．将两个等式左右两边对应相乘，并结合椭圆方程进行化简，即可得到直线A1P1与A2P2交点M的轨迹方程．
【解析】
根据题意，假设直线A1P1与A2P2交点为M．可得A1（-3，0），A2（3，0）
设M（x，y），P1（x1，y1），P2（x1，-y1），
∵点M在直线PA1上，∴=，
可得=，即=…①
同理，由=得到=…②
将①、②相乘，得=…③
∵P1（x1，y1）在椭圆上，
∴，可得=4（1-）
代入③，得=-=，
化简整理得，即为直线A1P1与A2P2交点M的轨迹方程
故答案为：