Question

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°．
（1）求AC₁的长；
（2）求BD₁与AC夹角的余弦值．

Answer

（1）设=，=，=，则两两夹角为60°，且模均为1．根据向量加法的平行四边形法则，我们易得=+=++．我们易根据向量数量积的运算法则，求出||的模，即AC1的长；
（2）我们求出向量，，然后代入向量夹角公式，即可求出BD1与AC夹角的余弦值．
【解析】
设=，=，=，则两两夹角为60°，且模均为1．
（1）=+=++=++．
∴||2=（++）2=||2+||2+||2+2•+2•+2•
=3+6×1×1×=6，
∴||=，即AC1的长为．
（2）=+=-+=-+．
∴•=（-+）•（+）
=•-2+•+2-•+•
=1．
||==，||==，
∴cos＜，＞===．
∴BD1与AC夹角的余弦值为．