Question

已知函数f（x）=则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）在（-1，0）上恰有一个零点
B．f（x）在（0，1）上恰有一个零点
C．f（x）在（-1，0）上恰有两个零点
D．f（x）在（0，1）上恰有两个零点

Answer

先求出 f（0）和f（-1）的值，根据 f（0）•f（-1）＜0，再由导数的符号判断f（x）在（-1，0）上是增函数，从而得出结论．
【解析】
由于函数f（x）=，
故f（0）=1，f（-1）=（-+）+（-+）+…+（- ）＜0，故有 f（0）•f（-1）=f（-1）＜0．
当x∈（-1，0）时，f′（x）=1-x+x2-x3+…+x2009-x2010==＞0，
故f（x）在（-1，0）上是增函数，故f（x） 恰有一个零点，
故选A．