Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（x∈R），f′（0）=6设F（x）=f（x）-f′（x）若F（0）=0，F（1）=-11．
（1）求b、c、d的值．
（2）求F（x）的单调区间与极值．

Answer

（1）根据F（x）=f（x）-f'（x）且F（0）=0，F（1）=-11，列方程组能够求出b、c与d的值．
（2）对F（x）进行求导，F'（x）＞0时的x的取值区间为单调递增区间，F'（x）＜0时的x的取值区间为单调递减区间．F'（x）=0时的x，使得函数F（x）取到极值．
【解析】
（1）∵f（x）=x3+bx2+cx+d，∴f'（x）=3x2+2bx+c．
由f′（0）=6得c=6，
从而F（x）=f（x）-f'（x）=x3+bx2+cx+d-（3x2+2bx+c）=x3+（b-3）x2+（c-2b）x+d-c．
由于F（0）=0，F（1）=-11，
所以d-c=0，且（b-3）+（c-2b）+d-c=-11，
得b=14，c=6，d=6；
（2）由（1）知F（x）=x3+11x2-22x，从而F'（x）=3x2+22x-22，
当F'（x）＞0时，x＜或x＞，
当F'（x）＜0时，＜x＜，
由此可知，（-∞，）和（，+∞）是函数F（x）的单调递增区间；
（，）是函数F（x）的单调递减区间；
F（x）在x=时取得极大值，极大值为369，F（x）在x=时取得极小值，极小值为-10．