Question

在等比数列{a_n}中，a₁最小，且a₁+a_n=66，a₂•a_n-1=128，前n项和S_n=126，（1）．求公比q；（2）．求n．

Answer

（1）设an=a1qn-1，用an和a1表示出a2•an-1根据韦达定理推知a1和an是方程x2-66x+128=0的两根，求得a1和an进而求得qn-1，把a1和an代入Sn=126，进而求得q，
（2）把q代入qn-1=32，求得n．
【解析】
（1）∵{an}成等比数列，∴a1•an=a2•an-1=128，
∵a1+an=66
∴a1、an是方程x2-66x+128=0的两个实数根，
解方程x2-66x+128=0，得：x1=2，x2=64；
又a1最小，∴a1=2，an=64；
又Sn=126，
∴由从而得：，即q=2；
（2）由an=a1qn-1得：2×2n-1=64，
∴n=6．