Question

设f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x（x∈R）．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论g（x）在[0，1]上的单调性并用定义证明；
（Ⅲ）若方程g（x）-b=0在[-2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用f（x）=3x，且f（a+2）=18求出a，再代入g（x）即可．
（Ⅱ）用证明一个函数在某个区间上的单调性的常用基本步骤：取点，作差或作商，变形，判断即可．
（Ⅲ）令转化为t-t2-b=0在有两个不同的解，利用数形结合来解题．
【解析】
（1）∵f（x）=3x，且f（a+2）=18，
∴3a+2=18⇒3a=2（2分）
∵g（x）=3ax-4x=（3a）x-4x
∴g（x）=2x-4x（2分）
（2）g（x）在[0，1]上单调递减．证明如下
设0≤x1＜x2≤1

=（2分）
∵0≤x1＜x2≤1，
∴，，
∴
∴，
∴
∴g（x2）＜g（x1）
∴g（x）在[0，1]上单调递减（2分）
（3）方程为，
令x∈[-2，2]，则（2分）
转化为方程为t-t2-b=0在有两个不同的解．
∴b=t-t2即，
当t=时b取最大值
当t=时，b=，当t=4时，b=-12
可得，当时，方程有两不同解．（4分）