Question

已知函数f （x）=e^x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．
（1）当b=0时，若对∀x∈（0，+∞）均有f （x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；
（2）设h（x）的图象为函数f （x）和g（x）图象的公共切线，切点分别为（x₁，f （x₁））和（x₂，g（x₂）），其中x₁＞0．
①求证：x₁＞1＞x₂；
②若当x≥x₁时，关于x的不等式ax₂-x+xe^-x+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据对一切x∈（0，+∞），均有ex≥kx≥lnx恒成立，也就是≥k≥在x∈（0，+∞）恒成立，下面只要求出函数的最小（大）值，使得（）min≥k≥即可．
（2）①由题知：h（x）即为y=e•x+e-x1 e也为y=lnx2=即y=+lnx2-1，根据两个函数为同一个函数进行比较，即可得到结果．
②要证不等式ax2-x+xe-x+1≤0恒成立，把问题进行等价变形，只要F（x）≤F（x1）=ax2-x1+x1e+1≤0，令F（x）=ax2-x+xe-x+1（x≥x1），利用导数研究其单调性，从而得出实数a的取值范围．
【解析】
（1）依题意对∀x∈（0，+∞）均有ex≥kx≥lnx成立
即对任意∀x∈（0，+∞）均有≥k≥成立…（1分）
∴（）min≥k≥
因为（）=故在（0，1）上减，（1，+∞）增
∴（）min=e
又故在（0，e）上减，（e，+∞）增
∴即k的取值范围是[，e]
（2）由题知：h（x）即为y-e=e（x-x1）即y=e•x+e-x1 e
也为y=lnx2=即y=+lnx2-1
∴…（6分）
又x1=0，∴e＞1  即＞1⇒x1＞1
即x1＞1＞x2…（8分）
（3）令F（x）=ax2-x+xe-x+1（x≥x1）
∴F′（x）=-1-xe-x+e-x=-1+e-x（1-x）（ x≥x1）
又x≥x1＞1，F′（x）=-1-xe-x+e-x=-1+e-x（1-x）＜0
即F（x）=ax2-x+xe-x+1（x≥x1）单调减，
所以只要F（x）≤F（x1）=ax2-x1+x1e+1≤0
即a+x1-x1e+e≤0…（12分）
由
∴
即
故只要≤0得：
a≤1
综上，实数a的取值范围是（-∞，1]…（14分）