Question

已知F₁（-1，0）、F₂（1，0）为椭圆的焦点，且直线与椭圆相切．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过F₁的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF₂的面积S的最大值，并求此时直线的方程．

Answer

（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为，由直线与椭圆相切知，直线方程与椭圆方程构成的方程组只有一解，消y后由△=0即可解得a2值，注意a的范围；
（Ⅱ）设过F1的直线：x=my-1，代入消去x并整理得（3m2+4）y2-6my-9=0，=|y1-y2|=|y1-y2|=，由韦达定理即可用m表示出，换元后根据函数单调性即可求得面积的最大值及此时m值；
【解析】
（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为，
由得，代入消去y并整理得，（，
由△=28a4-4（2a2-1）（8a2-a4）=8a2（a4-5a2+4）=0，解得a2=1或a2=4，
因为a2＞1，所以a2=4，
所以椭圆方程为：=1．
（Ⅱ）设过F1的直线：x=my-1，代入消去x并整理得（3m2+4）y2-6my-9=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
所以，
=|y1-y2|=|y1-y2|==，
令t=，则t≥1，=，
又，所以3t+递增，=3×1+1=4，当t=1即m=0时取等号，
所以≤=3，
当m=0时，面积S最大为3，此时直线方程为x=-1．