Question

已知函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（3）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明．

Answer

（1）解不等式＞0，可得解集为（-1，1），即为所求函数的定义域．
（2）根据函数的奇偶性的定义，将f（-x）化简整理，并且与-f（x）加以比较，即可证明出函数f（x）是奇函数．
（3）运用函数单调性的定义，任取x1，x2∈（-1，1）且x1＜x2，将两函数值作差，根据对数的运算性质化简，判断出差的符号，从而得到f（x1）＜f（x2）．因此，函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
【解析】
（1）∵由＞0，得（1+x）（1-x）＞0，解之得-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域是（-1，1）（3分）
（2）由（1）知x∈（-1，1），定义域关于原点对称
∵f（-x）==
而-f（x）=-==．
∴f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．（6分）
（3）设-1＜x1＜x2＜1，
f（x2）-f（x1）=-=
∵1-x1＞1-x2＞0；1+x2＞1+x1＞0，
∴＞1，结合底数2＞1得＞0．
∴f（x2）-f（x1）＞0，得f（x1）＜f（x2）
因此，函数f（x）=在（-1，1）上是增函数．