Question

已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2，求f（x）在区间[-2，1]上的值域．

Answer

依据函数单调性的定义判断函数的单调性，充分利用条件当x＞0时，有f（x）＞0与f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定单调性，再判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，可对x、y都赋值为0；最后求f（x）在区间[-2，1]上的值域即可．
【解析】
任取x1＜x2，x2-x1＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x2-x1）＞0
∵f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）+f（x1）
∴f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，
即∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）为增函数．
在条件中，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），
再令x=y=0，则f（0）=2 f（0），
∴f（0）=0，故f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数，
∴f（1）=-f（-1）=2，又f（-2）=2f（-1）=-4，
∴f（x）的值域为[-4，2]．