Question

提高二环路的车辆通行能力可有效改善整个城区的交通状况，在一般情况下，二环路上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当二环路上的车流密度达到600辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过60辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当60≤x≤600时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤600时，求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过二环路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

Answer

（I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在60≤x≤600时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；
（II）先在区间（0，60]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（60）=4800，然后在区间[60，600]用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，600]上的最大值．
【解析】
由题意：当0≤x≤60时，v（x）=80；当60＜x≤600时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解之得
故函数v（x）的表达式为v（x）=
（II）依题并由（I）可得f（x）=
当0≤x＜60时，f（x）为增函数，故当x=600时，其最大值为60×80=4800
当60≤x≤600时，f（x）=x（600-x）≤[]2=，
当且仅当x=600-x，即x=300时，等号成立．
所以，当x=300时，f（x）在区间（60，600]上取得最大值．
综上所述，当x=300时，f（x）在区间[0，600]上取得最大值为≈13333，
即当车流密度为300辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为13333辆/小时．
答：（I） 函数v（x）的表达式v（x）=
（II） 当车流密度为300辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为13333辆/小时．