Question

某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．
为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及其定义域；
（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

Answer

（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；
（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．
【解析】
（1）当x≤6时，y=50x-115，令50x-115＞0，
解得x＞2.3．
∵x∈N*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N*，
当x＞6时，y=[50-3（x-6）]x-115．
令[50-3（x-6）]x-115＞0，有3x2-68x+115＜0，
上述不等式的整数解为2≤x≤20（x∈N*），
∴6＜x≤20（x∈N*）．
故y=，
定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．
（2）对于y=50x-115（3≤x≤6，x∈N*）．
显然当x=6时，ymax=185（元），
对于y=-3x2+68x-115=-3+（6＜x≤20，x∈N*）．
当x=11时，ymax=270（元）．
∵270＞185，
∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．