Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．

Answer

（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小，说明∠APB就是要求的角即可求解．
（Ⅱ）要证明AE⊥平面PCD，只要证明AE⊥CD、AE⊥PC即可．
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小，说明∠AME是二面角A-PD-C的平面角，求解即可．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB．
又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD．故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．

（Ⅱ）证明：在四棱锥P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA．
由条件CD⊥PA，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．
又AE⊂面PAC，∴AE⊥CD．
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，∴PC∩CD=C．综上得AE⊥平面PCD．

（Ⅲ）【解析】
过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM．
由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD．
因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角．
由已知，可得∠CAD=30°．设AC=a，可得PA=a，，，．
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，则．
在Rt△AEM中，．
所以二面角A-PD-C的大小．