Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），且点P（0，1）在C₁上．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂：y²=4x相切，求直线l的方程．

Answer

（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（-1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=0．由此能求出直线l的方程．
【解析】
（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（-1，0），所以c=1，
点P（0，1）代入椭圆，得，即b=1，
所以a2=b2+c2=2
所以椭圆C1的方程为．
（2）直线l的斜率显然存在，
设直线l的方程为y=kx+m，
由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
因为直线l与椭圆C1相切，
所以△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=0
整理得2k2-m2+1=0①
由，消去y并整理得k2x2+（2km-4）x+m2=0
因为直线l与抛物线C2相切，所以△=（2km-4）2-4k2m2=0
整理得km=1②
综合①②，解得或
所以直线l的方程为或．