Question

已知双曲线C：2x²-y²=2与点P（1，2）
（1）求过P（1，2）点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点．
（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在．

Answer

（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-1），代入C的方程，并整理得（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0，然后进行分类讨论，把直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题进行求解．
（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），则2x12-y12=2，2x22-y22=2两式相减得．2（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2），再由点差法进行求解．
【解析】
（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-1），代入C的方程，
并整理得（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0 （*）
（ⅰ）当2-k2=0，即k=±时，方程（*）有一个根，l与C有一个交点
（ⅱ）当2-k2≠0，即k≠±时
△=[2（k2-2k）]2-4（2-k2）（-k2+4k-6）=16（3-2k）
①当△=0，即3-2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点．
②当△＞0，即k＜，又k≠±，
故当k＜-或-＜k＜或＜k＜时，方程（*）有两不等实根，l与C有两个交点．
③当△＜0，即k＞时，方程（*）无解，l与C无交点．
综上知：当k=±，或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜，或-＜k＜，或k＜-时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点．
（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，
且A（x1，y1），B（x2，y2），
则2x12-y12=2，2x22-y22=2，
两式相减得2（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）
又∵x1+x2=2，y1+y2=2，
∴2（x1-x2）=y1-y1  
即kAB==2，
但渐近线斜率为±，
结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，
即以Q为中点的弦不存在．