Question

已知抛物线的方程为y²=4x，直线L过定点P（-2，1），斜率为k．当k为何值时直线与抛物线
（1）只有一个公共点；
（2）有两个公共点；
（3）没有公共点．

Answer

设出直线方程代入抛物线方程整理可得k2x2+（4k2+2k-4）x+4k2+4k+1=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）只有一个根
（2）直线与抛物线有2个公共点⇔（*）有两个根
（3）直线与抛物线没有一个公共点⇔（*）没有根
【解析】
由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，
代入抛物线方程整理可得k2x2+（4k2+2k-4）x+4k2+4k+1=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根
①k=0时，y=1符合题意；
②k≠0时，△=（4k2+2k-4）2-4k2（4k2+4k+1）=0，整理，得2k2+k-1=0，
解得k=或k=-1．
综上可得，k=或k=-1或k=0；
（2）由（1）得2k2+k-1＞0，∴k＞或k＜-1；
（3）由（1）得2k2+k-1＜0，∴-1＜k＜．