Question

设F₁，F₂分别是椭圆E：x²+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F₁的直线l与E相交于A、B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．

Answer

（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．
（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1-2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．
【解析】
（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4
又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得
（2）L的方程式为y=x+c，其中
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，
化简得（1+b2）x2+2cx+1-2b2=0．
则．
因为直线AB的斜率为1，所以
即．
则．
解得．