Question

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x+10
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．

Answer

（1）先求出切点和导数，利用导数的几何意义即可求出b、c；
（2）g（x）的极值存在⇔g′（x）=0有两个不等实数根，解出即可．
【解析】
（1）∵切线方程是y=5x+10，∴与x轴的交点为（-2，0），即为切点．
∵f′（x）=3x2+4bx+c，∴即，解得．
∴f（x）=x3+x2-3x-2．
（2）由（1）可知：g（x）=，
∴g′（x）=．
∵g（x）的极值存在，∴g′（x）=0必有两个不相等的实数根，即△=4-4m+36＞0，
解得m＜10．
令g′（x）=0，解得，，易知x1＜x2．
如列表：由表格可知：当x=x1=时，函数g（x）取得极大值；
当x=x2=时，函数g（x）取得极小值．