Question

已知a＜2，函数f（x）=（x²+ax+a）e^x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的极大值是6e^-1，求a的值．

Answer

（1）通过求导，利用f′（x）≥0即可得出；
（2）先求出f′（x），得出其单调区间，列出表格，即可得出a的值．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=（x2+x+1）ex，
∴f′（x）=（x2+3x+2）ex=（x+1）（x+2）ex，
由f′（x）≥0，得x2+3x+2≥0，解得x≥-1或x≤-2．
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-2]∪[-1，+∞）．
（2）f′（x）=[x2+（a+2）x+2a]ex，
由f′（x）=0，解得x=-2或x=-a．
∵a＜2，∴-a＞-2．列表如下：
由表格可知：当x=-2时，函数f（x）求得极大值，且f（-2）=（4-a）e-2．
∴（4-a）e-2=6e-1，解得a=4-6e．
∴a的值是4-6e．