Question

已知函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若a＞1，判断函数的单调性（不需要证明）；
（3）若a＞1，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集．

Answer

（1）根据f（x）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=0，由此求得实数k的值．
（2）由a＞1，可得函数f（x）=ax-a-x=ax-在R上是增函数．
（3）原不等式化为f（x2+2x）＞f（4-x），由函数的单调性可得x2+2x＞4-x，解此一元二次不等式，求得不等式的解集．
【解析】
（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴k-1=0，∴k=1，经检验k=1符合题意．…..（3分）
（2）因为a＞1，所以函数f（x）=ax-a-x=ax-在R上是增函数．  …..（6分）
（3）原不等式化为f（x2+2x）＞f（4-x），…..（7分）
因为在R上单调递增，故有x2+2x＞4-x，即x2+3x-4＞0，
解得x＞1或x＜-4，因此，不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}．…..（10分）