Question

已知
（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域
（2）求函数f（x）在[t，t+2]上的最小值．

Answer

（1）把a=2代入g（x），对g（x）进行求导，利用导数研究函数g（x）在闭区间[0，3]上的最值，从而求解；
（2）对f（x）进行求导，研究其单调性，再对t进行讨论，求出函数f（x）在[t，t+2]上的最小值．
【解析】
（1）∵已知，a=2
∴g（x）=，可得g′（x）=x-1，
若x＞1，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
若x＜1，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
f（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，f（x）min=f（1）==；
f（0）=2，f（3）=，
∴函数y=g（x）在[0，3]上的值域为[，]；
（2）∵f′（x）=1+lnx（x＞0），令f′（x）=0，可得x=，
若x＞时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
若0＜x时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；t＞0
若0＜t≤时，因为区间长度为2，可以取到极小值点x=，也是最小值点，
∴f（x）min=f（）==-；
若t＞时，f（x）在[t，t+2]上为增函数，
∴f（x）min=f（t）=tlnt；
∴综上：若0＜t≤，f（x）min=；
若t＞时，f（x）min=tlnt；