Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0）在x=0处取到极值2．
（Ⅰ）分别求c，d的值；
（Ⅱ）试研究曲线y=f（x）的所有切线中与直线的垂直的条数．

Answer

（Ⅰ）由f（x）=x3+bx2+cx+d（b≠0），知f′（x）=3x2+2bx+c，由f（x）=x3+bx2+cx+d（b≠0）在x=0处取到极值2，知，由此能求出结果．
（Ⅱ）由f（x）=x3+bx2+2，知f′（x）=3x2+2bx，由曲线y=f（x）的所有切线中与直线的垂直的切线的斜率k=f′（x）=3x2+2bx=-b，分类讨论能够求出结果．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=x3+bx2+cx+d（b≠0），
∴f′（x）=3x2+2bx+c，
∵f（x）=x3+bx2+cx+d（b≠0）在x=0处取到极值2，
∴，
故c=0，d=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x3+bx2+2，
f′（x）=3x2+2bx，
曲线y=f（x）的所有切线中与直线的垂直的切线的斜率
k=f′（x）=3x2+2bx=-b，
△=4b2-12b=4b（b-3），
①当b＞3或b＜0时，曲线y=f（x）的所有切线中与直线的垂直的有2条；
②当b=3时，曲线y=f（x）的所有切线中与直线的垂直的有1条；
③当0＜b＜3时，曲线y=f（x）的所有切线中与直线的垂直的有0条．