Question

设函数f（x）=（x+a）1nx-x+a，a∈R．
（Ⅰ）设g（x）=f′（x），求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）若，试研究函数f（x）=（x+a）1nx-x+a的零点个数．

Answer

（Ⅰ）由f（x）=（x+a）1nx-x+a，a∈R，知g（x）=f′（x）=lnx+，x＞0．由此进行分类讨论能求出g（x）的极值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的极小值g（a）=lna+1≥，从而得f（x）在（0，+∞）上是增函数，由此能推导出函数f（x）=（x+a）1nx-x+a的零点个数．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=（x+a）1nx-x+a，a∈R，
∴g（x）=f′（x）=lnx+，x＞0．
∴=，
①当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，
g（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值．
②当a＞0时，x=a，
当x∈（0，a）时，g（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，g（x）单调递增，
∴g（x）的极小值g（a）=lna+1，无极大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的极小值g（a）=lna+1≥，
∴g（x）min≥0，即f′（x）≥0恒成立．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（）=（）-+a
=-=-＜0，
f（e）=（e+a）lne-e+a
=e+a-e+a=2a≥，
∴f（x）在（，e）中有一个零点，
∴函数f（x）=（x+a）1nx-x+a的零点个数为1个．