Question

已知函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

Answer

（1）用函数奇偶性的定义判断、证明，注意具有奇偶性的函数定义域须关于原点对称；
（2）利用增函数的定义证明．
【解析】
（1）函数为奇函数                
∵函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且关于原点对称．
且．
所以函数为奇函数．
（2）证明：设x1，x2是区间（1，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2．

=．
∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0  即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．