Question

定义在R上的偶函数f（x），当x∈[1，2]时，f（x）＜0且f（x）为增函数，给出下列四个结论：①f（x）在[-2，-1]上单调递增；②当x∈[-2，-1]时，有f（x）＜0；③f（-x）在[-2，-1]上单调递减；④|f（x）|在[-2，-1]上单调递减．其中正确的结论是（ ）
A．①③
B．②③
C．②④
D．③④

Answer

根据偶函数的图象关于y轴对称，结合已知函数的单调性，逐一加以研究．偶函数的图象关于y轴对称，x∈[1，2]时，f（x）为增函数，所以f（x）在[-2，-1]上单调递减；②x∈[1，2]时，f（x）＜0，所以当x∈[-2，-1]时，有f（x）＜0；③f（-x）=f（x）．由①知f（x）在[-2，-1]上单调递减；④|f（x）|的图象是将f（x）下方的图象，翻折到x轴上方，由于f（x）在[-2，-1]上单调递减，所以|f（x）|在[-2，-1]上单调递增，故可得结论．
【解析】
①偶函数的图象关于y轴对称，x∈[1，2]时，f（x）为增函数，所以f（x）在[-2，-1]上单调递减，故①错误；
②偶函数的图象关于y轴对称，x∈[1，2]时，f（x）＜0，所以当x∈[-2，-1]时，有f（x）＜0，故②正确；
③∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）．由①知f（x）在[-2，-1]上单调递减，故③正确；
④|f（x）|的图象是将f（x）下方的图象，翻折到x轴上方，由于f（x）在[-2，-1]上单调递减，所以|f（x）|在[-2，-1]上单调递增，故④错误
综上可知，正确的结论是②③
故选B．