Question

已知函数
（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数；
（2）设g（x）=log₂f（x），求g（x）的值域；
（3）对于（2）中函数g（x），若关于x的方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，求m的取值范围．

Answer

（1）利用函数单调性的定义，取值、作差、变形定号、下结论，即可证得；
（2）确定0＜f（x）＜2，利用函数的单调性，可求g（x）的值域；
（3）作出y=|g（x）|大致图象，设|g（x）|=t，则|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，由此可得结论．
（1）证明：，
设x1，x2是（0，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2，…（2分）
则…（4分）
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，∴，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，…（6分）
（2）【解析】
，
因为x＞0，所以x+1＞1，所以，即0＜f（x）＜2…（8分）
又因为x＞0时，f（x）单调递增，y=log2t单调递增，
所以y=log2f（x）单调递增，所以g（x）值域为（-∞，1）…（10分）
（3）【解析】
由（2）可知y=|g（x）|大致图象如图所示，
设|g（x）|=t，则|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，
设h（t）=t2+mt+2m+3…（12分）
①当有一个根为1时，h（1）=12+m+2m+3=0，，此时另一根为适合题意； …（13分）
②当没有根为1时，，得，
∴
∴m的取值范围为…（16分）